［活性化関数］PReLU／Parametric ReLU（Parametric Rectified Linear Unit）とは？：AI・機械学習の用語辞典
用語「PReLU（Parametric ReLU）」について説明。「0」を基点として、入力値が0より下なら「入力値をα倍した値」（αはパラメーターであり学習により決まる）、0以上なら「入力値と同じ値」を返す、ニューラルネットワークの活性化関数を指す。ReLUやLeaky ReLUの拡張版。
用語解説
AI／機械学習のニューラルネットワークにおけるParametric ReLU（Parametric Rectified Linear Unit：PReLU）とは、関数への入力値が0より下の場合には出力値が入力値をα倍した値（※αはパラメーターであり学習によって決まる）、入力値が0以上の場合には出力値が入力値と同じ値となる関数である。
上記の内容はLeaky ReLUとほぼ同じ説明であるが、α倍の値が、Leaky ReLUでは手動で指定した固定値（基本的に0.01）であるのに対し、Parametric ReLUでは「Parametric（パラメーターの）」という言葉の通り、学習によって動的に決まるパラメーター値である点が異なる。つまりPReLUは、Leaky ReLUの拡張版である。
また、Leaky ReLUと同様にReLUの拡張版でもある。ReLUでは入力値が0以下の場合は出力値が常に0だが、PReLUでは入力値が0より下の場合、出力値は学習によって動的に決まるパラメーターによって（基本的に）0より下の値を返す。
Leaky ReLUとほぼ同じグラフになるが、図1では、ReLUとPReLUのグラフの違いを示している。なお、PReLUのグラフは、パラメーターであるαが0.01の場合の例である。この場合、オレンジ色（PReLU）の線の左側がわずかに下がっている点が、青色（ReLU）の線と異なる特徴だ。PReLUのグラフは基本的にこのような形になるはずだが、パラメーターの値は動的に決まるので、入力値xが0より下の範囲では、その線の傾き（＝α倍）は学習のたびに変化してくことになる。PReLUは、Leaky ReLUと同様の理由で、「dying ReLU」（死にかけているReLU）問題を解消する。dying ReLUとは、元々のReLUでは入力値が0以下では出力値が常に0となるので、勾配がなくなってしまい、場合によっては学習が進みにくくなる問題のことである。
現在のディープニューラルネットワークでは、隠れ層（中間層）の活性化関数としては、ReLUを使うのが一般的である。しかし、より良い結果を求めて、ReLU以外にもさまざまな代替の活性化関数が考案されてきている。（本稿で解説する）PReLUは、そのReLUそのものを拡張した活性化関数である。
まずは、ReLUを試した後、より良い精度を求めてPReLUに置き換えて検証してみる、といった使い方が考えられる。2015年の論文「arXiv:1502.01852v1 [cs.CV]」や「arXiv:1502.01852 [cs.CV]」によると、画像分類タスクにおいてReLUよりも良い精度になったことが示されている。
主要ライブラリでは、次の関数／クラスで定義されている（※Leaky ReLUと異なり、いずれもαの値を手動で指定する必要はない。初期値は指定することもできる）。
定義と数式
冒頭では文章により説明したが、厳密に数式で表現すると次のようになる。
αがパラメーターで、xが入力データ、f(α,x)が出力結果である。
x < 0の場合は、f(α,x)＝α * xとなり（※αは学習により決まる）、
x ≧ 0の場合は、f(α,x)＝xとなる。
上記の数式の導関数（Derivative function：微分係数の関数）を求めると、次のようになる。
PReLUはReLU関数と同様に、非連続な関数であり、数学的にはx＝0の地点では微分ができない。
PReLUの導関数をニューラルネットワーク内で使うために、便宜的にx＝0を微分係数1の方に含めることにする。これにより、次のような導関数が求まる。
Pythonコード
PReLUは学習用のパラメーターを含むので、単なるPythonコードを示すだけでは使い勝手が悪いだろう（※そもそも数式の直接的な実装は、Leaky ReLUと同じである）。そこで、TensorFlow／KerasとPyTorchの各ライブラリに搭載されているPReLUクラスを使用する簡単なコード例を示す。
TensorFlow／Kerasの場合
import tensorflow as tf
prelu = tf.keras.layers.PReLU(
# α値の初期値（この例では「0.01」）を指定する
alpha_initializer=tf.constant_initializer(0.01))
# この活性化関数を使ったニューラルネットワークのモデルをトレーニングする...（コードは割愛）
# 「-1.0」を入力した場合の出力値：
print(prelu(-1.0))
# 出力例： tf.Tensor(-0.01, shape=(), dtype=float32)
# 学習したパラメーター「α」の値を取得する方法：
print(prelu.weights)
# 出力例： [<tf.Variable 'p_re_lu/alpha:0' shape=() dtype=float32, numpy=0.01>]
TensorFlow／Kerasの場合、α値はPReLUオブジェクトのweightsプロパティにより取得できる。
PyTorchの場合
import torch
import torch.nn as nn
prelu = nn.PReLU(
# α値の初期値（この例では「0.01」）を指定する
init=0.01)
# この活性化関数を使ったニューラルネットワークのモデルをトレーニングする...（コードは割愛）
# 「-1.0」を入力した場合の出力値：
print(prelu(torch.tensor(-1.0)))
# 出力例： tensor(-0.0100, grad_fn=<PreluBackward>)
# 学習したパラメーター「α」の値を取得する方法：
print(prelu.weight)
# 出力例： Parameter containing:
# tensor([0.0100], requires_grad=True)
PyTorchの場合、α値はPReLUオブジェクトのweight変数により取得できる。
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