［AI・機械学習の数学］指数と対数（指数編）：AI・機械学習の数学入門

連載の通常の流れとは別の番外編。AIや機械学習でよく使う「指数」を解説。指数関数の性質や指数関数の微分法についても簡単に紹介する。

[羽山博，著]

連載目次

　この連載の本編では、微分やベクトル、行列などのいわば数学の「縦糸」に当たるテーマを取り上げていますが、番外編では、さまざまなテーマにまたがる、いわば「横糸」に当たるテーマを取り上げます。今回は、AIや機械学習に登場する数式の中でよく使われる「指数」に焦点を当てることにします。なお、指数と切っても切り離せない「対数」については、番外編3で取り扱うことにします。

　指数は、同じ数を何回か掛けることを簡単に表すのに使います。その「何回か」は自然数（1以上の整数）でなくても構いません。ここでは、有理数（負の数を含めて、分数で表せる範囲の値）について、指数の取り扱いを見ていきます。また、指数関数の性質や指数関数の微分法についても簡単に紹介します。

ポイント1　指数関数の基本公式

　指数の計算方法については、本編の第1回や番外編1でも取り扱ったので、具体的な計算の例はそちらに譲ることとして、まずは基本公式をまとめておきましょう。ただ、公式だけだと実感が湧かないでしょうから、簡単な例も併せて示すこととします。

掛け算と割り算の公式

　これらの式で、xに当たる値のことを「底（てい）」と呼びます。mやnは「指数」ですね。以下の例では、いずれも底は2です。

（例1）

（例2）

　指数の部分が掛け算になっている場合は、以下のようになります。

　指数の部分がさらに指数になっている場合は、以下のように右から左へと計算します。

　番外編1でも説明しましたが、Excelでべき乗を表す演算子「^」を使って「=2^3^2」と入力すると、［A］のような計算方法になり、結果は、

となります。一方、Pythonでべき乗を表す演算子「**」を使って「=2**3**2」と入力すると［B］のような計算方法になり、結果は、

となります。

何を0乗しても1になる

　これは、割り算の公式でm＝nである場合に当たります。なお、0⁰は定義されません（このような計算は許されません）が、0ⁿは0です。

マイナス乗の場合

　これは、割り算の公式でm＝0である場合に当たります。

（例3）

コラム　n進数のしくみと指数

　私たちが普段使っている十進数は、各桁の値と10を底とした指数の積を全て足した値と考えられます。例えば、

となります。右端が1の位（10⁰の位）です。この例だと、1の位が4個あるということですね。10の位（10¹の位）が3個、100の位（10²の位）が2個、1000の位（10³の位）が1個あるというわけです。指数に注目すると、左の桁に行けば指数が1増えることが分かります。逆に言うと、右の桁に行けば指数が1減るわけですね。そして、1の位の指数は0となります。

　ここで、小数点以下を考えてみましょう。右に行けば指数が1減るので、1の位の右、つまり小数第一位の指数は−1になり、さらにその右の小数第二位の指数は−2になると考えられます。例えば、

と表せます。10⁻¹＝1/10＝0.1となり、10⁻²＝1/100＝0.01となるので、3.14は、1の位（10⁰の位）が3個、0.1の位（10⁻¹の位）が1個、0.01の位（10⁻²の位）が4個集まった数であることが分かります。ちゃんと計算が合っていますね。

　なお、Pythonのround関数やExcelのROUND関数で四捨五入の桁位置を指定する場合には、上記のように表現したときの「-指数」の値を指定します。例えば、Pythonで小数点以下第2位まで求めるときには10の-2乗の位まで求めるので、-(-2)つまり、2を桁位置として指定し、round(1.234,2)と書きます。結果は1.23ですね。round(4649,-1)なら10の1乗の位まで求めるので、結果は4650となります。

　上のような表し方は何進数でも同じです。例えば二進数であれば、底が2になるだけのことです。例えば、110.101という二進数であれば、

と表せます。整数部は6ですね。小数部は2⁻¹＝1/2¹＝0.5、2⁻³＝1/2³＝0.125なので、0.625になります。つまり、二進数の110.101は十進数の6.625であることが分かります。

ポイント2　指数が分数の場合

　指数が1/nである場合は、n乗根の主要根になります*1。まず、公式を記しておきます。

　上の式の

とは、n乗するとxになるような値のことです。例えば、

は、3乗すると8になる値です。2³＝8なので、この値は2となります。なお、

と書きます。

　下の式は、指数の部分がmと1/nの掛け算になっているものと考えられます。すでに見た［A］式、つまり、

で、nのところに1/nを書けば、

となりますね。

*1　n乗根は冪根（べきこん）や累乗根（るいじょうこん）とも呼ばれ、n＝2の場合を平方根、n＝3の場合を立方根と呼びます。n乗根は1つとは限りません。例えば、16の4乗根は「4乗すれば16になる値」のことなので、実数の範囲であれば、2と-2の2つになります。このうち、正の値の方を主要根と呼びます。

　つまり、16の4乗根は、

の2つですが、

です。

　なお、複素数にまで範囲を広げると、16の4乗根は、ほかにも2iと−2i（iは虚数単位）があります。

　指数が分数の場合の例はこれまで出てこなかったので、少し見ておきましょう。

（例4）

（例5）

　実際の計算はPythonなどのプログラミング言語やExcelなどにまかせてしまえばいいのですが、

なので、根号（√）の中を素因数分解し、素因数のn乗の形にして根号の外に出すと、式を簡単にできます。

（例6）

コラム　Pythonで底が負の場合は√と1/2乗の結果が異なる

　nの正の平方根は√nですが、これは、

と表すこともできます。ただし、nが負の場合は虚数（複素数）となります。Pythonでは、リスト1のようにべき乗で表した場合は複素数が返されます。

>>> (-4)**(1/2)
(1.2246467991473532e-16+2j)

リスト1　Pythonの基本機能で負の数の1/2乗を計算した結果

　-4の1/2乗は2j（jは虚数単位）となります。前の1.2246467991473532e-16は本来は0ですが、わずかな誤差が表示されています。

　一方、リスト2のようにmathモジュールのsqrt関数を使って、引数に負の値を指定するとエラーになります。

>>> from math import sqrt
>>> sqrt(-4)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: math domain error

リスト2　Pythonのmathモジュールで負の数の平方根を計算した結果

ポイント3　指数関数の値とグラフ

　指数関数は、f(x)＝a^xのように、変数xが指数になっているものです。f(x)＝2^xであれば、以下のような値になります。二次関数f(x)＝x²との違いも見比べておきましょう。

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
二次関数 x2	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
指数関数 2x	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
表1　二次関数と指数関数の値の変化

　これだけの値を見ても分かるように、指数関数ではxの値が大きくなると急激にf(x)の値が大きくなります。グラフも描いておきましょう。

図1　二次関数と指数関数のグラフ
x＝4を超えたあたりから二次関数と指数関数の差が急激に大きくなる。例えば、x＝20のとき、20²＝400だが、2²⁰＝1048576となり、図をはみ出してしまう。

ポイント4　指数関数の微分法

　指数関数の微分法については、公式と簡単な例を記すにとどめます。