［AI・機械学習の数学］総和を表すΣは機械学習に必須の記号：AI・機械学習の数学入門（4/5 ページ）

「Σ」を理解して総和をマスターしよう。応用で、Σの公式を使って平均を求めてみる（最小二乗法につながる基礎知識）。さらに、平均を使って重心を求める計算も行う（クラスタリング「k-means法」につながる基礎知識）。

[羽山博，著]

応用：Σを使って平均値を求める式を導き出す

　前回、具体的な数値を使って、各データとの距離の二乗和が最小になるときの

の値こそが平均値である、というお話をしました。また平均値の話か、と思われた方もおられるかもしれませんが、前ページで示した目標【その2】の公式を使ったΣの計算に慣れるのに恰好（かっこう）のネタなので、少しお付き合いください。また、新たな気づきも得られるはずです。

　さて、今回は、数値の代わりに文字を使い、総和をΣで表してみます。そうすれば、平均値を求める式を一般的に表すことができそうですね。そこで、各データを{x₁,x₂, ... , x_n}とし、各データとの距離の二乗和が最小になるときの値を

として、

を求める式を導き出してみましょう。

　図で表すと、以下の

が

を求めるということです（図3）。なお、2乗の総和のことを「二乗和（じじょうわ）」と略して呼びます。ここからは動画でも分かりやすく解説しているので、難しく感じた人は次の動画2を視聴してみてください。

動画2　距離の二乗和を最小にする「xバー」を求める（総和Σ活用編）

図3　各データからの距離の二乗和が最も小さくなる点を求める

　では、前回と同じようにやってみましょう。まず、

します（＝距離の2乗を求める）。そして、それらを全て足します（＝総和を求める）。

です。ここで、Σを使ってこの式を書いてみてください。またまた穴埋めです。「どこから」「どこまで」は自明なので省略しちゃいましょう。

　答えは以下の通りです。

　要するに、Σの中の式では、x₁,x₂,...,x_nを一般的にx_iと表せばいい、ということですね。