Pythonで三角関数！〜サウンドも作成してみよう：数学×Pythonプログラミング入門（3/4 ページ）

[羽山博，著]

目標3： 周期や周波数を変えてsin関数のグラフを描く

　次の目標は、sin関数（正弦関数）のグラフを描くことです。θを変数と見なして、値を変えていったときのsinθがsin関数です。

　ここでの目標は周期や周波数（後述します）を変えてグラフを描くことです。単純にsinθのグラフを描く例を最初に見ておき、それを書き換えることによって進めていくことにしましょう。θの値を変えながら(θ,sinθ)をプロットしていけば、簡単にsin関数のグラフが描けます。コードはリスト4の通りで、結果は図5のようになります。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
data = np.sin(theta)

plt.plot(theta, data)
plt.show()

リスト4　θ＝0〜2πまでのsin関数のグラフを描くコード
numpyモジュールのlinspace関数を使って0〜2πの間を100個に分け、θの配列を作る。それらの値に対するsinθの値を求めてグラフにする。

図5　sin関数のグラフ
リスト4で作成したグラフ。θ＝0〜2πに対するsinθの値をプロットしたもの。横軸の最大値が2π＝6.283...となる。

　ここからが本題です。図6のようにtの値を0〜1の間を100個に分け、sin関数が「一周」するようにしてみてください。これが目標3でまず取り組むことになります。

図6　周期を1としたsin関数のグラフ
t＝0〜1でsin関数の値が「一周」するようにプロットしたもの。このグラフを作るのがここでの目標。

　cos関数やsin関数は、2πごとに同じ形のグラフが繰り返されます。円周の長さが2πなので、一周回ったら元に戻るというわけです。この「一周の長さ」を周期と呼びます。グラフで表すと山から山まで（あるいは谷から谷まで）の長さが周期です。cos関数もsin関数も周期は2πですが、上の例では周期が1になるようにするというわけです。

（ヒント）t＝1のときに、角度が2πになるようにすればよい

　さらに、全体の長さ（tの最大値）を1としたまま、周期が1/3になるようにしてみてください。周期が1/3になると、図7のように同じ形の「波」が3回現れます。この個数のことを周波数と呼びます。

図7　周期を1/3、周波数を3としたsin関数のグラフ

　このグラフを描くことがここでのもう1つの目標です。

（ヒント）t＝1/3のときに、角度が2πになるようにすればよい

　なお、サウンドを表す波などではtが時間（秒）に当たります。周波数の単位はHz（ヘルツ）です。周期をTとし、周波数をfとすると、

という関係になっています。

3. 周期や周波数を変えてsin関数のグラフを描くためのコードを書く

　まず、周期を1としたグラフを描いてみましょう。tはグラフの横軸にあたる値で、0〜1の範囲です。それを100個に分けます。そして、sin関数の引数は、t＝1のときに2πになればいいので、2*np.pi * tを指定すればよさそうですね。これ以降のお話については、動画でも解説してあります。ぜひご視聴ください。

動画3　周期や周波数を変えて三角関数のグラフを描く

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.linspace(0, 1, 100)
data = np.sin(2*np.pi * t)

plt.plot(t, data)
plt.show()

リスト5　周期を1とした正弦関数のグラフを描く
sin関数の引数に注目。t＝0のときに2*np.pi * tの値が0となり、t＝1のときに2*np.pi * tの値が2πとなるので、np.sinの引数は0〜2πの値となる。結果は前掲の図6で見た通り。

　次に、周期を1/3にして3つの波が表示されるようにしましょう。linspace関数の第2引数（末項の値）を3にすればいいと思われるかもしれませんが、それだと、周期1の波がt＝0〜3の間に3つ表示されるだけです。周期が1/3の波をt＝0〜1の間に3つ表示するので、0〜1/3を0〜2πに対応させます。従って、sin関数の引数を2*np.pi * 3 * tにすればいいですね。ここでは周波数をfreqという変数で表すことにします。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = np.linspace(0, 1, 100)
freq = 3  # 周波数
data = np.sin(2*np.pi * freq * t)

plt.plot(t, data)
plt.show()

リスト6　周期を1/3、周波数を3とした正弦関数のグラフを描く
t＝0のときに2*np.pi * freq * tの値が0となり、t＝1/3のときに2*np.pi * freq * tの値が2πとなる。ここまでが1つ目の波になる。次に、t＝2/3のときに2*np.pi * freq * tの値が4πになる。ここまでが2つ目の波。t＝1になれば2*np.pi * freq * tが6πとなる。ここまでが3つ目の波。結果は前掲の図7で見た通り。

コラム　複素数平面でcosθとsinθをプロットする

　複素数平面（複素平面、ガウス平面とも呼ばれます）とは、複素数の実数部を横軸に、虚数部を縦軸にとった平面です。横軸は実軸、縦軸は虚軸と呼ばれます。cosθを実軸での値、sinθを虚軸の値として複素数平面上にプロットすると、図8の左のようになります。

図8　複素数平面上でcosθとsinθを表す
複素数平面の点(cosθ,sinθ)は、1つの複素数cosθ＋isinθとして、まとめて表すことができる。右側の図はθとsinθをプロットしたもの。

　(cosθ,sinθ)を1つの複素数にまとめて表すと、オイラーの公式により、

と簡単に表現できます。この式の中のiは虚数単位です（ただし、Pythonのコードでは虚数単位を`j`と表します）。なお、図8の右側に示したように、振幅は波の高さを表します。これは、左側の円の半径に当たります。複素数a＋biの大きさ|a＋bi|は、

で表されるので、上の場合だと、

となります。半径がrであれば、当然のことながら、

ですね。図8の右側で、周期が波の山から次の山までの時間（谷から谷まででも同じ）であること、波長は1周期の波の長さであることも確認しておきましょう。なお、単位時間（通常1秒）当たりの周期の数が周波数です。

　三角関数には、cosやsinのほかにもtanなどさまざまなものがあり、公式も数多くあります。しかし、基本の基本はこれだけです。幾つかの関連事項や応用例に触れるために、練習問題に取り組んでみましょう。