［AI・機械学習の数学］線形代数の行列式をマスター：AI・機械学習の数学入門（3/3 ページ）

» 2022年09月14日 05時00分公開

ポイント5　行ベクトルや列ベクトルが一次従属だと行列式の値は0になる

　次に、少しベクトルのお話をします（後で行列式とつながります）。例えば、x＝(3,4)というベクトルは、各成分を係数とし、単位ベクトルとの積を取ったものの和として、以下のように表すことができます。

　このとき、右辺の式を(1,0)と(0,1)の一次結合と呼びます*3。x＝(3,4)という値は一例として挙げただけなので、ほかの値でも構いません。ということは、平面上の全てのベクトル（点）が表せるということです。つまり、(1,0)と(0,1)の一次結合で、平面が構成できるわけです。

*3　係数は実数Rに含まれるものとし、ベクトルがn次元の実数の空間Rⁿに含まれるものとして、一般的に表すと、

係数をa₁,a₂,...,a_nとし、ベクトルをv₁,v₂,...,v_nとすると、n次元ベクトルxが、

で表される、ということです。この式（の右辺）を、v₁,v₂,...,v_nの一次結合と呼びます。

　ここで、(1,0)を(1,2)に移し、(0,1)を(3,-1)に移すものとしましょう。すると、xは、

に移ります。これは行列と内積を使って以下のようにも表せます。

　やはり、x＝(3,4)というベクトルは一例として挙げただけなので、どのようなベクトルであっても、必ず平面上のどこかの点に移ります。これは結局、平面を変形したことになります。つまり、(1,2)と(3,-1)といった一次結合でも、平面上の全てのベクトルを表せます。

　しかし、そうならない場合もあります。例えば、(0,0)と(0,1)の一次結合では、(3,4)や(2,6)は、以下の点に移ります。

　この場合、どのような点を指定しても、その点が移る先のx座標は常に0になります。ということは、この表し方では平面を作ることができません（全てy軸上の点に移ります）。成分がすべて0である零ベクトルが含まれるからでしょ、と思われるかもしれませんが、例えば、(1,2)と(2,4)の一次結合では、

となり、平面上のどのベクトル（点）もy＝2xという直線上に移されることになります。やはりこの一次結合でも平面を表すことができません。

　この違いをどうやって見分ければいいのでしょうか。一般化して書いてみます。

となるのが、

の場合に限るとき、v₁,v₂,...,v_nは一次独立であると言います。その場合は一次結合により、空間内の全てのベクトルが表せます（空間を構成できるということです）。

　例えば、

となるのは、a₁＝a₂＝0の場合だけです。従って、(1,0)と(0,1)は一次独立です。最初に見た(1,2)と(3,-1)も一次独立です（行列での表記にしてもいいのですが、一般化した式との対応が分かるように、ベクトルでの表記にしました）。

　しかし、(0,0)と(0,1)のように、零ベクトルが含まれていると一次独立にはなりません。このような場合は一次従属であると言います。

という式では、a₂＝0ですが、a₁にはどのような値でも指定できます。また、(1,2)と(2,4)のように、ベクトルが定数倍になっている（平行である）場合も一次従属です。

の場合、a₁＝a₂＝0のときに上の式は成り立ちますが、例えば、a₁＝2,a₂＝－1でも成り立ちます。「a₁＝a₂＝0の場合だけ」という条件に当てはまらないからです。

　これは、

という連立方程式が解けないというのと同じことです（ちなみに、連立方程式を解くことは、逆行列を求めることと同じです）。

　n次元の空間は一次独立なn個のベクトルを使って構成できます。その場合の一次独立な個々のベクトルを基底と呼びます。例えば、最初に見た単位ベクトル(1,0)と(0,1)は私たちがよく知っている直交座標（xy座標）を表す基底です（標準基底と呼ばれます）。基底は単位ベクトルでなくても構わないので、(1,2)と(3,-1)を基底とした平面を作ることもできます。

　さて、行列式の話に戻りましょう。行列を構成する列ベクトル（や行ベクトル）が一次従属である場合、行列式は0になります。2×2行列の場合であれば、列ベクトルが一次従属である場合には、それらを使って二次元の平面を作ることができないからです。従って、平行四辺形も作れないので面積（行列式）が0になる、というわけです。

　基底の考え方は、次回の番外編5「線形代数（固有値・固有ベクトル）」につながるものです。が、今回は、少し違った観点から行列式を求める興味深い方法と、余因子展開を使った逆行列の求め方をコラムとして紹介して、ひと区切りということにしたいと思います。

コラム　機械的に行列式の値を求める方法

　行列式を上三角行列に変換して行列式の値を求める方法は、幾つかの操作によって、行列式をシンプルな形に帰着させるというやり方でした。ここでは、置換と組み合わせだけを使う、いわば方法そのものがシンプルなやり方を紹介します（その分、手順は長くなるかもしれません）。

　前提として、偶置換と奇置換についてお話しておきます。例えば、123を並べ替えて213に置き換えることを考えてみます。

　この場合、1を2に変え、2を1に変えれば置換が完成します。要するに交換しているわけです。このことを（互いに値を交換するので）「互換」と呼びます。上の例であれば、1回の互換で置換が完了します。一方、123を231にするには、以下のように2回の互換が必要になります。

　互換の回数が偶数回の場合を偶置換、奇数回の場合を奇置換と呼びます。ちなみに、足の短い猫はマンチカン、以前見たことあるぞというのは既視感です。

　サラスの公式に現れる各項は、下の式の枠で囲んだ成分の積になっています（組み合わせは全部で6通りありますが2つだけ掲載します）。それらの成分は、互いに行番号と列番号が重複しないように取り出したものです。公式中のbdiという項（下の式の左側）について見てみると、bは2行目、dは1行目、iは3行目なので行番号に重複はありません。また、bは1列目、dは2列目、iは3列目なので列番号にも重複がありません。下の式の右側に示したbfgについても確認してみてください。どれも行番号と列番号が重複していませんね。

　ここで、左から行番号を並べてみましょう。左側の例は、bが2行目、dが1行目、iが3行目なので213と表します。先ほど見たように、これは123の奇置換になっています。右側の例は、bが2行目、fが3行目、gが1行目なので231です。こちらは偶置換です。

　あとは、行番号と列番号が重複しないように成分の積を全て求め、偶置換であれば+、奇置換であれば-を付けるだけです。それだけでn×nの行列式の計算ができます。これでもう難しいルールを覚える必要はなくなりました。

　ちなみに、置換はσと表し、置換σの符号はsgn(σ)と表されます（sgn(σ)は「サイン・シグマ」と読みます。これらは置換やその符号を簡潔に表すための記号です）。従って、偶置換の場合はsgn(σ)＝1、奇置換の場合はsgn(σ)＝－1となります。

　しかし、偶置換なのか奇置換なのか、置換してみないと分からないので、実際にやるとなると手間がかかりそうですね。これには簡単な見分け方があります。左側に大きな値が幾つあるかを数えるだけです。例えば、213であれば、

2 …… 左にこれより大きな値は0個
1 …… 左にこれより大きな値は1個
3 …… 左にこれより大きな値は0個

なので、合計は1、つまり奇数です。この場合は奇置換です。

　231は、

2 …… 左にこれより大きな値は0個
3 …… 左にこれより大きな値は0個
1 …… 左にこれより大きな値は2個

なので、合計は2、つまり偶数です。この場合は偶置換です。では、以下の行列式をこの方法で求めてみましょう。

　行番号と列番号が重複しない成分の積は以下の通りです。それらを番号で表したものは以下の6通りです（3つの文字を並べ替える場合の数と同じなので3!＝3×2×1＝6通り）。それぞれの数字よりも大きな数が左側に幾つあるかを求め、偶置換であるか奇置換であるかを調べて符号を決めます。


項	置換	左側の大きな数の個数	sgn(σ)
aei	123	0	1
bfg	231	2	1
cdh	312	2	1
afh	132	1	-1
bdi	213	1	-1
ceg	321	3	-1

表1　偶置換か奇置換かを判定する方法
偶置換の場合は+を付け、奇置換の場合は-を付けて全てを足せば、aei＋bfg＋cdh－afh－bdi－cegとなり、サラスの公式と同じになる。

　成分の全ての組み合わせを作るのが面倒ですが、ちょっと面白いやり方ですね。

コラム　（参考）行列式を使って逆行列を求める方法

　2×2行列での逆行列の求め方はすでに見た通りです。ここでは、3次元以上の場合の計算方法を紹介します。そのためには、余因子展開について知っておく必要があります。字面を見るととっつきにくそうですが、注目している行と列以外の「余った」成分の行列式を作るだけのことです。計算そのものは単なる四則演算なので、難しいところはないのですが、行と列が入り乱れてかなりややこしいので、余裕のあるときにゆっくり読み進めていただくといいでしょう。

　では、方法を説明します。3×3行列が以下のようになっているものとします。

　ここで、1行1列目のaに注目し、1行目と1列目以外で行列式を作ってみましょう。すると以下のようになります。

　同じように、2行2列目のeに注目し、2行目と2列目以外で行列式を作ると以下のようになります。

　簡単ですね。一般に、i行j列以外で作った行列式を「(i,j)小行列式」と呼び、それに(－1)^i＋jを掛けたものを「(i,j)余因子」と呼びます。

　行列の成分aに対する余因子をãと表すと、元の行列式は以下のように展開できます。このような展開のことを余因子展開と呼びます。

　ここでは、符号に注意する必要があります。b̃（編集注：HTMLエンコードの都合上、チルダがbの上ではなく横に表示されることがあります）は2行1列目なので、小行列式に(－1)³＝(－1)を掛けたものが余因子です*4。

*4　元の成分をa,b,cではなくa₁₁,a₂₁,a₃₁のように表せば、a_ijに対する(i,j)余因子がã_ijと表されるので、符号を表すために掛ける(－1)^i＋jと対応させやすかったかもしれません。なお、余因子展開することによって、行列式の次数を減らせるので、行列式の値が求めやすくなることも分かりますね。