時系列分析Ｉ ――ARMAモデルと時系列分析：ITエンジニアのためのデータサイエンティスト養成講座（9）（2/4 ページ）

» 2014年06月24日 19時47分公開

[中林紀彦，日本アイ・ビー・エム]

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自己回帰 AR(p) モデル

　例えば、株価など時系列（日次）で変化する事象を表すデータで、今日の株価は1日前の株価の値と相関関係があり、式1のように表すことができるモデルをAR(1)過程と呼びます。

　1日前と2日前の2世代前までのデータと相関性がある場合にはAR(2)過程ということができ、p日前までのデータと相関性がある場合にはAR(p)過程と呼びます。

式1（Wikipedia日本語版「自己回帰移動平均モデル」から引用）

　式1を見ると分かりますが、AR(1)過程の性質はパラメーターφによって決定されます。

　ここではφの値をいろいろと変化させてサンプルデータを生成し、AR(1)過程の特徴を見ていきましょう。

自己回帰モデルはパラメーターが変わるとどうなる？（1）： φ＝1.01の場合

　まずは必要なライブラリを読み込んで（In [1]～In [5]）、365日の時系列インデックスを生成します（In [6]～In [9]）。パラメーターに1.01を指定してサンプルデータを生成しプロットします（In [10]～In [15]）。図1のようにφ＝1.01の場合には前日の値より1%増加するということなので、ノイズが含まれているため、少しまばらではありますが、単調に増加していくことが分かります。

In [1]: # 必要なライブラリの読み込み
In [2]: %pylab
Using matplotlib backend: TkAgg
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib
In [3]: import pandas as pd
In [4]: import statsmodels.api as sm
In [5]: from statsmodels.tsa.arima_process import arma_generate_sample
In [6]: # 期間の設定：365日
In [7]: nobs = 365
In [8]: # 時系列インデックスの生成
In [9]: dates = pd.date_range(start='2014-01-01', periods=nobs)
In [10]: # MAパラメーターを設定：今回はARモデルなのでMA(0)とします
In [11]: maparams = np.array([1])
In [12]: # φ=1.01としてサンプルデータを生成しグラフにプロット
In [13]: arparams = np.array([1, -1.01])
In [14]: y1 = pd.TimeSeries(arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs), index=dates)
In [15]: y1.plot()
Out[15]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x6fb30b0>

図1　φ＝1.01の場合の出力結果

自己回帰モデルはパラメーターが変わるとどうなる？（2）：φ＝0.5の場合

　次に0.5の場合を見てみましょう（In [16]～In [23]。

In [16]: # 前のグラフを閉じる
In [17]: plt.close()
In [18]: # φ=0.5としてサンプルデータを生成しグラフにプロット
In [19]: arparams = np.array([1, -0.5])
In [20]: y2 = pd.TimeSeries(arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs), index=dates)
In [21]: y2.plot()
Out[21]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x71a6ed0>
In [22]: #
In [23]: plt.close()

図2　φ＝0.5の場合

　（1）と同様にグラフを描くと図2のようになり、パラメーターの絶対値が1以下のため、ノイズの影響で直線にはなりませんが、0近傍で値が定常になっていると見なせます。

自己回帰モデルはパラメーターが変わるとどうなる？（3）：φ＝－1.01の場合

　次にパラメーターが負（マイナス）のケースを見てみましょう（In [24]～In [27]）。

In [22]: # 前のグラフを閉じる
In [23]: plt.close()
In [24]: # φ=-1.01としてサンプルデータを生成しグラフにプロット
In [25]: arparams = np.array([1, 1.01])
In [26]: y3 = pd.TimeSeries(arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs), index=dates)
In [27]: y3.plot()
Out[27]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x795cad0>