時系列分析Ｉ ――ARMAモデルと時系列分析：ITエンジニアのためのデータサイエンティスト養成講座（9）（4/4 ページ）

[中林紀彦，日本アイ・ビー・エム]

移動平均 MA(q) モデル

　MA(q)モデルは一般的に式2で表すことができるモデルで、一番シンプルなMA(1)モデルでは、「今日の値は1日前の誤差の影響を受ける」というモデルでパラメーターθの符号によって特徴が決定されます。

式2（Wikipedia日本語版「自己回帰移動平均モデル」から引用）

　今回は0.8と−0.8でモデルの特徴を比較してみましょう。

MA(q)モデルはパラメーターの値でどう変わる？（4）：θ＝0.8の場合

　まず、θ＝0.8の場合をプロットしてみます（In [40]〜In [45]）。

In [38]: # 前のグラフを閉じる
In [39]: plt.close()
In [40]: # ARパラメーターを設定：今回はMAモデルなのでAR(0)とします
In [41]: arparams = np.array([1])
In [42]: # θ=0.8としてサンプルデータを生成しグラフにプロット
In [43]: maparams = np.array([1, 0.8])
In [44]: y4 = pd.TimeSeries(arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs), index=dates)
In [45]: y4.plot()
Out[45]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0x7799890>

図5　θ＝0.8の場合

MA(q)モデルはパラメーターの値でどう変わる？（5）：θ＝−0.8の場合

　次に、θ＝−0.8の場合をプロットしてみます（In [48]〜In [51]）。

In [46]: # 前のグラフを閉じる
In [47]: plt.close()
In [48]: # θ=-0.8としてサンプルデータを生成しグラフにプロット
In [49]: maparams = np.array([1, -0.8])
In [50]: y5 = pd.TimeSeries(arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs), index=dates)
In [51]: y5.plot()
Out[51]: <matplotlib.axes.AxesSubplot at 0xafe7f30>

図6　θ＝−0.8の場合

　図5がθ＝0.8の場合、図6がθ＝−0.8の場合のグラフです。この2つを比べるとθが負の値を取ると、グラフの「ギザギザ」の間隔が狭くなっているのが見てとれます。

MA(1)モデルでの自己相関（Autocorrelation）プロットと偏自己相関（Partial Autocorrelation）プロット

　それではMA(1)のモデルの自己相関と偏自己相関のプロットを見てみましょう（In [54]〜In[61]）。

In [52]: # 前のグラフを閉じる
In [53]: plt.close()
In [54]: # 自己相関（Autocorrelation）プロット
In [55]: fig = plt.figure(figsize=(12,8))
In [56]: ax1 = fig.add_subplot(211)
In [57]: fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(y4.values.squeeze(), lags=40, ax=ax1)
In [58]: # 偏自己相関（Partial Autocorrelation）プロット
In [59]: ax2 = fig.add_subplot(212)
In [60]: fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(y4, lags=40, ax=ax2)
In [61]: fig.show()

図7　MA(1)のモデルの自己相関と偏自己相関のプロット

　ARモデルとは逆に、自己相関のプロットでラグ1の値だけ大きな値を取っています。このようにMA(q)モデルの場合には自己相関プロットからqの値を類推することができます。

おわりに

　今回は時系列分析の代表的なモデルの1つであるARMAモデルについて、パラメーターを変化させながらサンプルデータを生成させてモデルの特徴を確認するという、普段とは違ったアプローチでモデルの紹介をしていきました。

　次回は実際のデータを使い今回のARMAモデルのパラメーターを推定し、未来の予測に活用するような実例を紹介したいと思いますので、お楽しみに。