マハラノビス距離（Mahalanobis distance）とは？：AI・機械学習の用語辞典

用語「マハラノビス距離」について説明。2点間の距離を計測する方法の一つで、「“普通の距離”（＝ユークリッド距離）を一般化したもの」とも言われる。データの分布（共分散行列）を考慮することで、データのばらつき具合や相関関係を反映した距離を計算できる。異常値や外れ値を識別するために有効であり、特に多次元データにおいて正確な距離測定が可能。

» 2024年06月20日 05時00分公開

[一色政彦，デジタルアドバンテージ]

連載目次

用語解説

　数学／統計学／機械学習におけるマハラノビス距離（Mahalanobis distance）とは、n次元ベクトル（多変量空間）で表現される2点（例えばx＝[x₁,x₂,...,x_n]とy＝[y₁,y₂,...,y_n]）間の「距離」を計算するための方法の一つである（具体的な計算方法は後述する）。マハラノビス距離は、“普通の距離”（厳密にはユークリッド距離、L₂ノルム）の計算に「データの分布（厳密には共分散行列）」を加える。これにより、ユークリッド距離と違い、データのばらつき具合や相関関係が考慮されるようになるため、マハラノビス距離は「普通の距離を一般化したもの」とも言われる。

図1　マハラノビス距離のイメージ（ユークリッド距離と等距離線の形を比較）

　図1は、x₁とx₂という成分を持つ2次元ベクトルの架空のサンプルデータをプロットした例だ。左右のグラフ上には、データの中心（この場合は2次元座標系の原点）から等しい距離を結んだ線（＝等距離線）をそれぞれ描画している。

　左のグラフでは、「ユークリッド距離」を用いて計算している。この場合、等距離線は「完全な円」になる。この円の線上にある点Aと点Bは、データの中心からの距離が同じである。

　右のグラフでは、「マハラノビス距離」を用いて計算している。この場合、データの分布や相関に基づいて、等距離線が「楕円（だえん）」になる。この楕円の線上にある点Aと、線上にない点Bは、異なる距離となっている。図を見ると分かるように、右側の青色の点Bは楕円から遠いため、データの中心からの距離は点Aよりも長い。

　このように、距離にデータのばらつき具合や相関関係が考慮されると、他のデータ群から遠く離れた異常値はより長い距離として算出される。例えば、年齢と収入というスケールの異なるデータセットの場合、マハラノビス距離を用いることで、飛び抜けて収入の高い人は、ユークリッド距離よりも長い距離として判断できる。この方法により、データの異常値や外れ値をより正確に識別することが可能である。

「2点間のマハラノビス距離」の定義と数式

　点xから点yのマハラノビス距離を求める数式は、以下のように定義できる。

　数式の真ん中にあるSは共分散行列である。共分散行列（分散共分散行列とも呼ばれる）とは、多変量データの各変数（＝各ベクトルの各成分）間の共分散をまとめた行列であり、つまりデータの分布を表す行列である。冒頭の説明の繰り返しになるが、マハラノビス距離では、計算に共分散行列を加えることで、データのばらつき具合や相関関係が考慮されるようになる。

　多次元データに対する（不偏）共分散行列Sの数式は、データセットがn次元のベクトルz₁, z₂, ..., z_mから成るm個のサンプルで構成されている場合、以下のように定義される（※標本データの場合は不偏共分散行列となるので分母をm－1にするが、母集団のデータの場合は分母はmにすること。ちなみに共分散行列を表す記号には、SだけでなくΣもよく使われる）。