ジャッカード距離（Jaccard distance）とは？　ジャッカード係数との違い：AI・機械学習の用語辞典

用語「ジャッカード距離」について説明。集合間の「異なり」（＝非類似度）を評価する尺度で、「2つの集合がどれだけ異なっているか」を測定するために使用される。集合間の「重なり」（＝類似性）を測定するジャッカード類似度と対になる概念。値は0～1で、1に近いほど「異なっている（＝似ていない）」を意味する。

» 2024年09月18日 05時00分公開

[一色政彦，デジタルアドバンテージ]

連載目次

用語解説

　数学／統計学／機械学習におけるジャッカード距離（Jaccard distance）とは、2つの集合が「どのくらい異なっているか」の計算値で差異を表す尺度である。具体的には、「2つの集合全体（＝和集合：∪）」から「共通部分（＝積集合：∩）」を除いた要素数を、「2つの集合全体（＝和集合：∪）」に含まれる要素数で割ることで計算される（図1）。このジャッカード距離の値は、0～1の範囲に正規化され、0なら「完全に同じ集合（＝全く異なっていない）」、1なら「全く共通点のない集合（＝完全に異なっている）」を意味する。

図1　ジャッカード距離のイメージ

　ジャッカード距離の計算値は、1からジャッカード類似度（＝ジャッカード係数）を引いたものと同じである。つまりジャッカード距離は、集合間の「重なり」（＝類似性：similarity）を測定するジャッカード類似度と対になる概念であり、反対に集合間の「異なり」（＝非類似度：dissimilarity、言い換えると「距離」）を測定する。よってジャッカード距離は、ジャッカード類似度と同じような用途で逆の指標として使える、と考えるとよいだろう。

定義と数式

　すでに図1と冒頭の解説で計算方法に言及しているが、あらため数式としてまとめ、計算例を示しておく。

　この2つの集合のジャッカード距離、すなわち「この2つの集合がどれだけ異なっているか」を求める数式は、以下のように表される。なお、∪は「集合全体」（＝和集合：「または」と同じ意味）を、∩は「集合の共通部分」（＝積集合：「かつ」と同じ意味）を表し、|……|は集合の要素数を表す。

　つまり、|A ∪ B|は「集合Aと集合Bの両方（＝集合全体）」に含まれる要素数を表し、|A ∩ B|は「集合Aと集合Bの共通部分」に含まれる要素数を表す（なお、集合の「対称差」を意味するデルタ記号Δを使うことで、|A ∪ B| － |A ∩ B|は|A Δ B|と表記することもできる）。この数式によって計算されるジャッカード距離の値は、先ほども説明した通りに0～1の範囲に収まるようになる。

　例えば、集合Aが{1, 2, 3}、集合Bが{2, 3, 4}である場合、A ∪ Bは{1, 2, 3, 4}の4要素であり、A ∩ Bは{2, 3}の2要素である。従って、この場合のジャッカード距離は、以下の計算で0.5となる。

　この結果は、「集合Aと集合Bが半分程度、異なっている」ことを意味する。つまり、2つの集合は「異なっていない（＝似ている）」とも「異なっている（＝似ていない）」とも言えない中間的な状態にある。

　前述した通り、ジャッカード距離は、値が0に近いほど異なっていないことを、1に近いほど異なっていることを示す。ただし、中間的な値については、具体的な解釈が状況によって異なるため、目的に応じて柔軟に判断することが重要である。

　前掲の図1の例も同様に説明すると、以下のようになる。

集合Aが{犬, 虎, 猫, 馬}、集合Bが{犬, 虎, 猫, 馬}である場合、A∪Bは{犬, 虎, 猫, 馬}の4要素であり、A∩Bは{犬, 虎, 猫, 馬}の4要素となるので、ジャッカード距離は（4－4）÷4＝0.0である。
集合Aが{犬, 虎, 猫}、集合Bが{虎, 猫, 馬}である場合、A∪Bは{犬, 虎, 猫, 馬}の4要素であり、A∩Bは{虎, 猫}の2要素となるので、ジャッカード距離は（4－2）÷4＝0.5である。
集合Aが{犬, 猫}、集合Bが{虎, 馬}である場合、A∪Bは{犬, 虎, 猫, 馬}の4要素であり、A∩Bは空集合（{　}）の0要素となるので、ジャッカード距離は（4－0）÷4＝1.0である。

用途

　ジャッカード距離は、主にクラスタリング（例：図1のような「動物のグループ分け」）や、文書比較、レコメンデーション（推薦）システムなどで広く利用されている。

　例えば、文書比較では、各文書を単語の集合として捉え、その集合間のジャッカード距離を計算することで、文書同士の違い（＝非類似度）を評価できる。レコメンデーションシステムでは、ユーザーの行動を集合として表現し、その集合間のジャッカード距離を計算することで、似た（＝異なっていない）行動を取るユーザーに対して、似たコンテンツを推薦することが可能となる。