Lesson 3 NumPyによる数学計算と、数学用語の「テンソル」：機械学習＆ディープラーニング入門（データ構造編）
NumPyのデータ構造「多次元配列」を使って数学計算を行う方法を説明。また、そもそも機械学習やディープラーニングでは、なぜ数学計算が重要になっているのかについても言及する。
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ご注意：本記事は、＠IT／Deep Insider編集部（デジタルアドバンテージ社）が「deepinsider.jp」というサイトから、内容を改変することなく、そのまま「＠IT」へと転載したものです。このため用字用語の統一ルールなどは＠ITのそれとは一致しません。あらかじめご了承ください。
前回まで、AIプログラムで使うデータの構造に関して解説。基本的にはNumPyの多次元配列（ndarray）を使う、と説明した。今回は、そのndarray型のデータを使ってどのように計算するか、について説明しよう。※脚注や図、コードリストの番号は前回からの続き番号としている。
本稿で示すサンプルコードの実行環境については、Lesson 1を一読してほしい。
Lesson 1でも示したように、本連載のすべてのサンプルコードは、下記のリンク先で実行もしくは参照できる。
AIプログラムにおけるデータの計算
これからNumPyの具体的な使い方、つまり計算方法を説明するわけだが、その前に、「ディープラーニングにおける計算」について知っておくべきことがあるので、それから順を追って説明させてほしい。
AI・ディープラーニングで数学を使う理由
ディープラーニングの処理の中身は、さまざまな数式を使って、データの数値を幾重にも計算しながら変えていく処理、より直感的に表現するなら「数値をこねくり回すような処理」である。ディープラーニングの理論は数学を礎に築かれているわけで、その計算の大半を「NumPy」や「TensorFlow」のようなライブラリが肩代わりしてくれるとはいえ、その端々に、チラチラと数学の世界が垣間見えてしまうというのも現実である。
しかもその数学は、大学レベルと比較的高度である。このように高度な数学を用いる理由は、計算を楽にするためでもある。具体例を出してみよう。人の身長（height）の平均（average）を計算するなら、リスト7-1のようなコードになる。
hana_height, taro_height, jiro_height = 165.5, 177.2, 183.2 # Lesson 1のリスト2-1で宣言済み
average_height = (
hana_height +
taro_height +
jiro_height
) / 3
print(average_height) # 175.29999999999998
※先頭行は、タプルと呼ばれる構文を使って、複数の変数にまとめて値を代入している。
※Pythonの基本は1行1文であるが、カッコの中や+のような演算子の後は改行して文を継続できる。
難しいところはないだろう。（+算術演算子を使って）身長を足し合わせた数値を、（/算術演算子を使って）3人で割ることで、身長の平均値（average_heightオブジェクト）を算出している。
一見、こうやって計算すれば問題ないではないか、と思うかもしれないが、例えば3人ではなく、1000人や10万人ならどうだろうか？ コードのボリューム（行数など）が333倍や3万倍とすごいことになってしまう。とても人間が書ける量ではなくなってくる。
そこで役立つのが、ここまでに説明してきたデータ構造とその処理体系（具体的にはNumPyやTensorFlowなどが提供する「多次元リスト」「多次元配列」「データフレーム」「テンソル」などと、その計算機能）なのである。ちなみに、Lesson 1のリスト2-1で示したリスト型のところでも同じ理屈で、データをまとめる必要性を説明した。つまり、NumPyなどのフレームワークを活用して、データを多次元配列構造にまとめることは、単にデータが扱いやすくなるだけでなく、計算も効率的に行えるようになるということだ。
試しに、上記のコードをNumPyの多次元配列を使って計算するコードに書き換えてみよう。
import numpy as np
array1d = np.array([ 165.5, 177.2, 183.2 ])
average_height = np.average(array1d)
average_height # 175.29999999999998
先ほどは(hana_height + taro_height + jiro_height) / 3と個別の値を使った計算式（＝+や/などの演算子）が書かれていた部分が、np.average(array1d)というNumPyの関数に書き換わっている。このarray1dオブジェクトは、NumPyの1次元配列（多次元配列の一種）である。つまりリスト7-2は、多次元配列を使った計算式（＝np.average()関数）に書き換えられているというわけだ。
繰り返しになるが重要なのでもう一度言うと、前掲のリスト7-1のような個別の値を使う場合だと、データの数が増えるほど、計算式部分のコードがどうしても長くなる。しかし、リスト7-2のような多次元配列を使う計算方法であれば長くならない。つまり多次元配列を使えば、計算式がシンプルで効率的になるのだ。
そもそも、数学の発想そのものが、このように複雑で面倒くさい計算を、シンプルで効率的な短い式で表現しようとすることである。そのため、ディープラーニングのような計算を効率的に行うには、やはり「数学」の利活用が非常に重要ということになるのである。
AI・ディープラーニングで使われる数学用語
このような理由から、データの計算では、数学が多用される。よって計算処理では、「個別の数値」や「多次元リスト」「多次元配列」のようなプログラミング用語ではなく、数学用語が用いられることが通例だ。具体的には、
- 「個別の数値」は、「スカラー」（scalar）
- 「1次元配列」は、「ベクトル」（vector）
- 「2次元配列」は、「行列」（matrix）
と呼ばれる。高校数学の授業で「スカラー」や「ベクトル」は聞いたことがあるのではないだろうか。
「行列」については、2012年度から高校数学で扱わなくなっているので、大学で学んでいない場合は知らないかもしれない。しかし難しいことはない。Lesson 1と2で学んだ多次元リスト（もしくは多次元配列）のうち、「2次元」のものが、「行列」である。行列の計算方法は、NumPyやTensorFlowに任せればよいので、とりあえず知らなくても大丈夫だ。
また、「3次元配列」以上の多次元配列に対応する数学は、大学で学ぶ。具体的には、
- 「多次元配列」は、「テンソル」（tensor）
と呼ばれる。「テンソル」は、TensorFlowのデータ構造の概念と同名である、と前回Lesson 2ですでに説明した。ここでようやく、
Pythonの「多次元リスト」 ＝ NumPyの「多次元配列」 ＝ TensorFlowの「テンソル」
と意味がつながる。つまりTensorFlowでは、データ構造に対して単に数学寄りの命名をしているというだけだ。単なる用語・名称の違いでしかないので、「テンソル……うわぁ、数学か……」と難しく考えすぎないようにしてほしい。場面場面によってこれらの用語は使い分けられるので、用語の違いは単純に記憶するしかない。
なおテンソルにも、プログラミング用語で言う「1次元・2次元・3次元……」といった「次元」（dimensions）対応する数学用語がある。それが「階」（ランク、階層）である。具体的には、
- 「個別の数値」は、「0階のテンソル」
- 「1次元配列」は、「1階のテンソル」
- 「2次元配列」は、「2階のテンソル」
- 「3次元配列」は、「3階のテンソル」
- 「N次元配列」は、「N階のテンソル」
のように表現する。
ここまで用語がたくさん登場したので、一覧表と図にまとめた。ぜひ、いま一度、頭の中を整理しておいてほしい。
| Python（多次元リスト） | NumPy（多次元配列） | TensorFlow／数学用語（テンソル） | 数学用語（値） |
|---|---|---|---|
| 個別の数値 | 0次元配列 | 0階のテンソル | スカラー |
| 1次元リスト | 1次元配列 | 1階のテンソル | ベクトル |
| 2次元リスト | 2次元配列 | 2階のテンソル | テンソル |
| 3次元リスト | 3次元配列 | 3階のテンソル | テンソル |
| N次元リスト | N次元配列 | N階のテンソル | テンソル |
| 表1 多次元配列に類する各種用語 | |||
数学とNumPyの関係が分かったので、NumPyの数学計算について簡単に機能を紹介しておこう。
NumPyの数学計算機能
前掲のリスト7-2ではnp.average(array1d)というコードで、npと名付けたnumpyモジュールのaverage()関数を呼び出していた。基本的にNumPyはこのように、関数の引数に多次元配列のndarrayオブジェクトを受け取り、計算結果を戻り値として返す。つまり、
＜戻り値は計算結果＞ = ＜計算を行う関数名＞(＜多次元配列のデータ＞)
という仕様になっている。
どのような数学系の関数があるかというと、代表的なものは以下のとおりだ。なお、これらすべての計算式を覚える必要はない。必要になった段階で、調べて使えばよい。
- 四則演算： 足し算：add()、引き算：subtract()、掛け算：multiply()、割り算：divide()、余り：mod()、※Python言語と同様に + - * / % も使える
- 丸め処理： 切り捨て：floor()、切り上げ：ceil()、四捨五入：round()
- 三角関数： サイン：sin()、コサイン：cos()、タンジェント：tan()
- 数学概念： 絶対値：absolute()、累乗：power()、平方根：sqrt()、指数：exp()、対数：log()
- 数学定数： 円周率π：pi、ネイピア数e：e、※これらは関数ではなく定数
- 統計処理： 合計：sum()、平均：average()、最小値：amin()、最大値：amax()、標準偏差：std()、分散：var()
数学の計算式は多種多様で、ここで取り上げたものはほんの一部である。詳しくは、NumPyの公式APIリファレンスの数学関数や統計関数を参照してほしい（※ただし、英語ページしかないので、日本語で読みたい場合はGoogle検索や翻訳などを活用して、必要な計算を探すしかない）。
NumPyを使った計算
これだけだと分からない部分も多いと思うので、NumPyによる数学計算の例をもう少し見ておこう。
まずは、3行2列の2次元配列を作成してみよう。リスト8-1は、その配列の形状（＝shape）と次元数（＝ndim）と要素*5数（＝size）を出力している例だ。
array2d = np.array([ [ 165.5, 58.4 ],
[ 177.2, 67.8 ],
[ 183.2, 83.7 ] ])
print(array2d.shape) # (3, 2)
print(array2d.ndim) # 2
print(array2d.size) # 6
*5 プログラミングでは、配列内の個別の値は要素（element）と呼ぶが、数学の行列では成分（entry）とも呼ぶ。計算においては、数学に寄せて「成分」と記載している本も多いので注意してほしい。ちなみに、数学の行列は、大学数学では線形代数と呼ばれる分野に入る。
リスト8-2は、体重を90％にするダイエット目標を計算する例だ。数学や計算式の意味は本筋ではないので説明しないが、数学の行列の転置（T）や積（@：Python 3.5以降の場合。それ以前のPython 2系などの場合はmatmul関数）を使って計算している（※意味は分からなくてよい。ここでは行列計算が簡単にできることを知ってほしいだけだから）。
diet = np.array([ [ 1.0, 0.0 ],
[ 0.0, 0.9 ] ])
lose_weights = diet @ array2d.T
# Python 3.5以降の場合。それ以前のPython 2系などの場合は、以下のmatmul関数を使う必要がある
#lose_weights = np.matmul(diet, array2d.T)
print(lose_weights.T) # [[165.5 52.56]
# [177.2 61.02]
# [183.2 75.33]]
このような感じで行列計算できる。
もう一つ例を見ておこう。身長や体重の平均値を2次元配列（＝行列）の状態で計算してみよう。
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