［AI・機械学習の数学］微分法の基本を身につけて「変化」を見極めよう：AI・機械学習の数学入門（3/3 ページ）

[羽山博，著]

練習問題

　以下の関数を微分してみましょう。

（1） f(x) ＝ 7x³をxで微分する
（2） f(x) ＝ 10をxで微分する
（3） f(x) ＝ 2x⁴＋3x²＋5をxで微分する
（4） f(t) ＝ t²−4t＋4をtで微分する

解答

（1） f'(x) ＝ 21x²
（2） f'(x) ＝ 0
（3） f'(x) ＝ 8x³ ＋ 6x
（4） f'(t) ＝ 2t−4

　（1）は、指数が3なのでそれを係数に掛けて、7 × 3＝21が導関数の係数になりますね。指数の方は1つ減らすと2です。よって、21x²となります。

　（2）は、ちょっとひっかけっぽいですが、定数項しかないので、0になります。f(x)の値は常に10なので、全く変化しませんね。だから変化率は0です。

　（3）は、手順通り各項を計算していけば求められます。

　（4）は変数としてtを使っただけです。やはり手順は同じです。

解説（続き）：微分の定義と計算方法について

　微分の意味や定義も分かった、計算方法も分かった、めでたしめでたし……と言いたいところですが、「いや、ちょっと待ってくれ」と思った人はいないでしょうか。微分の定義は以下のようなものでした。

　そして、計算方法は以下のようなものでした。

のとき、

　これでは、定義と計算方法がどうつながっているのかが分かりませんね。意味もやり方も分かったから、なんだか分からない面倒な途中の話はいいや、と投げ出さずに、上の定義と下の計算方法がつながっている（＝導き出せる）ことを確認してみましょう。ただし、厳密に証明するとかなり長くなるので、簡単な例で答えが合っていることだけを確かめるにとどめます。

　では、例として、f(x)＝ax²を取りあげます。この導関数を微分の定義に当てはめて計算してみましょう。簡単な例とはいえ、式の変形が少し細かくなるので動画も用意しておきました。

動画3　導関数を求める（二次関数の例）