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AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

AI・機械学習の数学入門 ― 中学・高校数学のキホンから学べる

羽山 博

機械学習の数学は難しい!? そう思っている人はこの連載から学んでみよう。サブタイトルは「― 中学／高校数学のキホンから学べる」。本連載では、小学校で習う「四則演算（足し算／引き算／掛け算／割り算）」を使って、機械学習の数学をできるだけ分かりやすく簡単に説明していく。

■ 中学／高校数学のおさらい 〜 微分／線形代数につながる基礎 ■

第1回　AI・機械学習のための数学超入門 ― 前提知識は四則演算だけ！（2020/03/02）

  • 機械学習は、人間の日常とそう変わらない
  • 機械学習で使われる数学は結局のところ四則演算だけ！
  • 四則演算のルールをざっとおさらい
    ・目標
    ・解説
    　- ルール1　同じ数を何回か足す計算は、掛け算で表せる
    　- ルール2　同じ数を何回か掛ける計算は、べき乗で表せる
    　- ルール3　計算には優先順位があり、かっこで囲んだ計算が優先される
    ・コラム　計算の順序を工夫すると暗算が簡単になる
    ・練習問題
  • 距離を求める　〜　機械学習で使われる数学（1）
    ・直線上の距離を求める
    ・平面上の距離を求める
    ・コラム　距離にはいろいろある
    ・練習問題

第2回　文字式を使いこなせば一気にレベルアップ（2020/03/30）

  • 目標【その1】： 文字式に慣れる
    ・解説：数の代わりに文字を使う
  • 目標【その2】： 文字式の計算に便利な公式を利用する
    ・解説：文字式の計算
    ・練習問題
    ・解説：添字の利用
  • 各データとの距離の2乗の総和が最小になる値とは？？？
    ・問題：距離の二乗和の最小値を求める
    ・距離の二乗和を求める
    ・最小値を求めるために式を変形する（平方完成）
    ・平方完成した式のpについて解く（連立方程式）
    ・平方完成した式のqについて解く（連立方程式）
    ・ゴール：最小値を求める

第3回　総和を表すΣは機械学習に必須の記号（2020/04/16）

  • 目標【その1】： 総和を求める
    ・解説：Σの意味と書き方をマスターする
    ・練習問題
  • 目標【その2】： Σの公式を知る
    ・解説：いったん足し算に戻してみれば当たり前のこと！
  • 応用：Σを使って平均値を求める式を導き出す
  • 応用：重心を求める

番外編1　「0」の取り扱い（2020/08/03）

  • ポイント1　「0」で割ってはいけない
  • ポイント2　何かを0乗すると1になる
  • ポイント3　「0」の階乗は1

番外編2　指数と対数（指数編）（2021/05/13）

  • ポイント1　指数関数の基本公式
    ・掛け算と割り算の公式 ・何を0乗しても1になる
    ・マイナス乗の場合
    ・コラム　n進数のしくみと指数
  • ポイント2　指数が分数の場合
    ・コラム　Pythonで底が負の場合は√と1/2乗の結果が異なる
  • ポイント3　指数関数の値とグラフ
  • ポイント4　指数関数の微分法
    ・コラム　正規分布やシグモイド関数などで使われる自然対数の底e

番外編3　指数と対数（対数編）（2021/05/17）

  • ポイント1　対数の表し方
  • ポイント2 対数の性質や公式のまとめ
    ・コラム　対数と情報量の表し方
  • ポイント3　対数関数の値とグラフ
  • ポイント4　対数関数の微分

■ 微分／積分 ■

第4回　微分法の基本を身につけて「変化」を見極めよう（2020/05/14）

  • 目標【その1】： 平均変化率を理解する
    ・解説：平均変化率の意味と利用例を知る
    ・練習問題
  • 目標【その2】： 平均変化率を文字式で表してみる
    ・解説：平均変化率を文字式で表してみる
  • 目標【その3】： いよいよ微分のお話（導関数を理解する）
    ・解説：微分の考え方と書き方について
  • 目標【その4】： 微分の計算方法（導関数の求め方）
    ・解説：微分の計算方法(導関数の求め方)
    ・練習問題
    ・解説（続き）：微分の定義と計算方法について

第5回　微分法を応用して、回帰分析の基本を理解する（2020/06/04）

  • 目標【その1】： 微分の公式を整理しておく
    ・解説：微分の公式を整理しておく
    ・練習問題
  • 目標【その2】： 回帰分析とは何かを知る
    ・解説：回帰分析とは何かを知る
  • 目標【その3】： 最小二乗法による回帰分析の超簡単な例
    ・解説：最小二乗法による回帰分析の超簡単な例（具体的な例）
    ・解説：最小二乗法による回帰分析の超簡単な例（一般的な例）

第6回　偏微分の基本（意味と計算方法）を理解する（2020/07/14）

  • 目標： 偏微分の意味と計算方法を理解する
    ・解説：偏微分の意味と計算方法を理解する
    ・練習問題

第7回　偏微分を応用して、重回帰分析の基本を理解する（2020/07/28）

  • 目標： 偏微分を利用して重回帰分析を行う
    ・解説：偏微分を利用して重回帰分析を行う
    ・残差二乗和を求める
    ・残差二乗和を偏微分する
    ・連立方程式を解く
  • まとめと補足
    ・残差二乗和の偏微分（一般的な場合）

第8回　合成関数の微分（連鎖律）とニューラルネットワーク初歩の初歩（2020/09/03）

  • 目標【その1】： 合成関数を理解する
  • 解説【その1】： 合成関数を理解する
    ・合成関数の例1
    ・合成関数の例2
    ・合成関数の例3
  • 簡単なニューラルネットワークの例
  • 目標【その2】： 合成関数の微分
  • 解説【その2】： 合成関数の微分（連鎖律）
    ・合成関数の微分の例1
    ・合成関数の微分の例2（偏微分の場合）

■ 線形代数 ■

第9回　ベクトルの基本と類似度の計算（2020/10/12）

  • 目標【その1】： ベクトルとは
  • 解説【その1】： ベクトルとは
  • 目標【その2】： ベクトルの定数倍と和の計算
  • 解説【その2】： ベクトルの定数倍と和・差の計算
  • 目標【その3】： ベクトルの内積を求める
  • 解説【その3】： ベクトルの内積を求める
    ・練習問題
  • 目標【その4】： ベクトルの大きさを求める
  • 解説【その4】： ベクトルの大きさを求める（さらにコサイン類似度も計算する）

第10回　行列の基本と、回帰／ニューラルネットワークでの表現（2020/11/19）

  • 目標【その1】： 行列とは
  • 解説【その1】： 行列とは
    ・練習問題
  • 目標【その2】： 行列の和と定数倍
  • 解説【その2】： 行列の和と定数倍
  • 目標【その3】： 行列とベクトルの積
  • 解説【その3】： 行列とベクトルの積
    ・行列の1行目をベクトルとみなし、内積を求める
    ・行列の2行目をベクトルとみなし、内積を求める
    ・練習問題
  • 目標【その4】： 行列同士の積
  • 解説【その4】： 行列同士の積
    ・AとBの1列目の積を求める
    ・AとBの2列目の積を求める

番外編4　線形代数の行列式をマスター（2022/09/14）

  • ポイント1　行列式はスカラーである
  • ポイント2　3次以上の行列式を簡単に求めるには上三角行列を作る
  • ポイント3　行列式は符号付きの面積や体積である
  • ポイント4　行列式が0だと逆行列は存在しない
  • ポイント5　行ベクトルや列ベクトルが一次従属だと行列式の値は0になる
    ・コラム　機械的に行列式の値を求める方法
    ・コラム　（参考）行列式を使って逆行列を求める方法

番外編5　線形代数の固有値・固有ベクトルをマスター（2022/09/21）

  • ポイント1　固有ベクトルは一次変換を行っても向きが変わらないベクトル
  • ポイント2　固有値の求め方（考え方を中心に）
  • ポイント3　固有ベクトルの求め方（考え方を中心に）
  • ポイント4　固有値の超簡単な求め方
  • ポイント5　応用〜行列の対角化とマルコフ過程

■ 確率／統計 ■

第11回　確率の基本から条件付き確率までをおさらいしよう（2020/12/24）

  • 目標【その1】： 確率の表し方
  • 解説【その1】： 確率の表し方
  • 目標【その2】： 和事象・積事象、排反事象
  • 解説【その2】： 和事象・積事象、排反事象
  • 目標【その3】： 独立と従属、条件付き確率
  • 解説【その3】： 独立と従属、条件付き確率
    ・コラム　条件付き独立とは

第12回　機械学習でよく使われる「ベイズの定理」を理解する（2021/01/07）

  • 目標【その4】： ベイズの定理
  • 解説【その4】： ベイズの定理
  • 目標【その5】： ベイズの定理の展開
  • 解説【その5】： ベイズの定理の展開
  • 目標と解説【その6】： ベイズ更新

第13回　確率分布の基本、ベルヌーイ分布、二項分布を理解する（2021/02/17）

  • 目標と解説【その1】： 分布と確率分布
  • 目標【その2】： ベルヌーイ分布とは
  • 解説【その2】： ベルヌーイ分布とは
  • 目標【その3】： 二項分布とは
  • 解説【その3】： 二項分布とは
    ・母数、確率質量関数、累積分布関数などについて
    ・コラム　尤度（ゆうど）について

第14回　正規分布とベータ分布、確率分布とベイズ統計の関係を理解する（2021/02/18）

  • 目標【その4】： 正規分布とは
  • 解説【その4】： 正規分布とは
    ・確率密度関数と累積分布関数
    ・コラム　中心極限定理
  • 目標と解説【その5】： ベータ分布とは
  • 目標と解説【その6】： ベイズ統計と事前分布、事後分布
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