チェビシェフ距離（Chebyshev distance）／L∞ノルムとは？：AI・機械学習の用語辞典

用語「チェビシェフ距離」について説明。2点間の距離を計測する方法の一つで、2つの点座標（n次元）で「次元ごとの距離（＝各成分の差）の絶対値」のうち「最大値」を距離として採用する計算方法を意味する。

[一色政彦，デジタルアドバンテージ]

連載目次

用語解説

　数学／統計学／機械学習におけるチェビシェフ距離（Chebyshev distance、Chessboard distance：チェス盤距離）とは、2点間の距離を計測する際に、n次元ベクトルで表現されるそれらの点座標の次元ごとに距離（＝成分間の差）の絶対値を求めて、その中の最大値を距離とする方法である。

　チェビシェフ距離は、n次元のチェス盤の上をキング（駒）が移動する手数（＝ステップ数）によく例えられる（図1）。キングは斜めにも真っ直ぐにも動けるため、例えば左下にあるx地点から右上にあるy地点に最短距離で移動する場合、その移動のステップ数がそのまま2点間のチェビシェフ距離となる。

図1　チェビシェフ距離のイメージ

　図1のように、チェス盤の上で点座標xが(0,0)から点座標yが(2,4)に駒（キング）を最短距離で移動させる場合、4マス移動するので、チェビシェフ距離は4になる。

　このチェビシェフ距離d_∞(x,y)は、次のように数学的に計算できる（計算式については後述する）。

「チェビシェフ距離」の定義と数式

　点xから点yのチェビシェフ距離を求める数式は、以下のように定義できる。

　この数式では、2つのn次元ベクトルで各成分の差の絶対値を取り、その中の最大値を「距離」として採用している。このためチェビシェフ距離は、「最大距離（Maximum metric）」や「max距離」とも呼ばれる。

　||……||という数学記号は、ベクトル空間における「長さ／距離」を表現する概念であるノルム（norm）を意味する。チェビシェフ距離は、L_∞ノルムや無限大ノルムとも呼ばれる。ちなみにL_∞ノルムは、NumPyライブラリのnp.linalg.norm(＜x-y点間距離の多次元配列データ＞, ord=np.inf)関数で計算できる。

マンハッタン距離やユークリッド距離との違い

　チェビシェフ距離は、マンハッタン距離やユークリッド距離と同様に、2点間の距離を計算するための手法の一つである。それぞれどう違うかを、以下に箇条書きで簡単にまとめておく。

• マンハッタン距離（L₁ノルム）： 2点間の座標差（絶対値）を合計。例えば機械学習のL1正則化（ラッソ回帰）で使われている。
• ユークリッド距離（L₂ノルム）： 2点間の「直線距離」を算出。最も一般的な距離の計算方法。例えば機械学習のL2正則化（リッジ回帰）で使われている。
• チェビシェフ距離（L_∞ノルム）： 2点間の座標差（絶対値）のうち最大値を算出。2つのn次元ベクトルで各成分の差がほとんど同じだが、そのうちの1つでも大きく差があれば、それを高く評価したい場合に使える。ただし、このような目的は「機械学習」の分野ではあまり多くないと考えられるため、実際の利用機会は限られるだろう。

「AI・機械学習の用語辞典」