ミンコフスキー距離（Minkowski distance）／Lpノルムとは？：AI・機械学習の用語辞典

用語「ミンコフスキー距離」について説明。2点間の距離を計測する方法の一つで、マンハッタン距離（L1ノルム）やユークリッド距離（L2ノルム）、チェビシェフ距離（L∞ノルム）などを一般化したもの。パラメーター「p」の値を調整することで柔軟に距離を表現できる。

[一色政彦，デジタルアドバンテージ]

連載目次

用語解説

　数学／統計学／機械学習におけるミンコフスキー距離（Minkowski distance）とは、n次元ベクトルで表現される2点（例えばx＝[x₁,x₂,...,x_n]とy＝[y₁,y₂,...,y_n]）間の「距離（ノルム）」を計算するための方法の一つである（具体的な計算方法は後述する）。マンハッタン距離（L₁ノルム）や、ユークリッド距離（L₂ノルム）、チェビシェフ距離（L_∞ノルム）の計算を一般化したものとも見なせる。ミンコフスキー距離は、L_pノルム（L_p norm）とも呼ばれる。

　図1は、さまざまなpの値における「L_pノルムの単位円（＝全て点の距離が1になる円）」の形状を示している。これは、原点（中心、例えば点x）から1の距離にある点（例えば点y）を連続的に描いて線の図形にしたものだ。例えばp＝2の場合、原点から1の距離にある点を満遍なく描いていくと、完全な円形になる（図1の2行1列目）。このように単位円を描くことで、「異なるpの値が、距離の計算方法にどのように影響するか」を視覚的に理解できる。

図1　ミンコフスキー距離のイメージ（さまざまなpの値におけるLpノルムの単位円の形状）

　図1を見ると分かるように、pの値が異なると、単位円の形が変わる。

• 1行1列目： p＝0.5の場合、単位円は星形のような形になる（※一般的にはp≧1であるため、この例は特殊であることに注意）
• 1行2列目： p＝1の場合、単位円はひし形になる（マンハッタン距離）
• 1行3列目： p＝1.5の場合、単位円は丸みを帯びたひし形になる
• 2行1列目： p＝2の場合、単位円は完全な円形になる（ユークリッド距離）
• 2行2列目： p＝3の場合、単位円は丸みを帯びた正方形になる
• 2行3列目： p＝∞の場合、単位円は正方形になる（チェビシェフ距離）

「ミンコフスキー距離（Lpノルム）」の定義と数式

　点xから点yのミンコフスキー距離（L_pノルム）を求める数式は、以下のように定義できる。

　この数式では、2つのn次元ベクトルで各成分の差の絶対値を取り、それらの絶対値のp乗を合計し、その合計値の1/p乗（p分の1乗）を「距離」として採用している。pには基本的に1以上の実数を指定する。

　||……||という数学記号は、ベクトル空間における「長さ／距離」を表現する概念であるノルム（norm）を意味する。L_pノルムは、pの値によって異なる種類の距離を表現する。前述した通り、p＝1の場合はマンハッタン距離、p＝2の場合はユークリッド距離、p＝∞の場合はチェビシェフ距離となる。

　ちなみにL_pノルムは、NumPyライブラリのnp.linalg.norm(＜x-y点間距離の多次元配列データ＞, ord=＜pの値＞)関数で計算できる。

pの値の調整について

　パラメーターpの値を調整することで、データ間の距離を柔軟に表現できる。例えば顧客をグループ分け（＝機械学習のクラスタリング）する場合、データ間の類似性をミンコフスキー距離で評価する際には、データの特徴やクラスタリングの目的に合わせてpの値を調整することで、クラスタリングの精度を向上させることができる。

　ミンコフスキー距離は、p＝1（マンハッタン距離）の場合には差が小さい成分も考慮するのに対し、p＝∞（チェビシェフ距離）の場合には差が大きい成分のみを考慮するようになる。p＝2（ユークリッド距離）の場合は、それらの中間ぐらいで各成分を考慮する。

「AI・機械学習の用語辞典」