［AI・機械学習の数学］総和を表すΣは機械学習に必須の記号：AI・機械学習の数学入門（5/5 ページ）

[羽山博，著]

応用：重心を求める

　もう少し応用的なお話もしておきましょう。機械学習の一つにクラスタリングと呼ばれる方法があります。これは、データを幾つかのグループに分けるのに使われる手法です。そのときに、各グループのデータの「重心」を求める必要があり、そのためにも平均値が使われます。

　重心とは、各データからの距離の二乗和が最小になる点のことなので、やはり平均値に他なりません。小学校の頃から慣れ親しんできた平均値がここでも大活躍です。

　平面上の二点の距離を求める方法については、この連載の第1回で見ました。そのときには具体的な数値を使って計算しましたが、文字式を使って表してみましょう。

は、図4の斜辺の長さに当たります。

図4　2点の距離

　ピタゴラスの定理を使って計算すると、

は、

ですね。いちいち√を求めるのも面倒なので、2乗のままにしておきましょう。つまり、

は、

ということになります。

　次に、複数の点の重心を求めてみましょう。重心の座標を

とします。

が

を求めればいいですね。

図5　重心

　上の図では、点は4つしか描かれていませんが、点が(x₁,y₁),(x₂,y₂)...(x_n,y_n)のようにたくさんあるなら、

は、

となりますね。これをΣを使って表せば、

となります。この式の値を最小にする

の値は、それぞれの平均値なので、

です。これが重心の座標です*2。

*2　

を求めるためには、微分法（偏微分）を使うのが便利です。いずれお話することになると思います。お楽しみに。

　軸（変数）がもう一つ増えて、三次元になっても同様に計算できます（図6）。考え方は同じですが、ちょっと複雑に見えるので、動画での解説も用意してあります（動画3）。

動画3　重心の座標を求める（三次元編）

図6　2点の距離（三次元）

　求めたい距離は、

で、図6のCの長さに当たります。ここでは、三角形ABCが直角三角形になっていることに注目してください。直角三角形ということは、やはりピタゴラスの定理が使えますね。つまり、

です。

　A²は上で求めた通り、

です。B²は

です。よって、C²は、

であることが分かります。